微分方程式をコンピュータで解く手法の一つにルンゲクッタ法というものがある。理工系学生は、C言語などのプログラミングの授業で習う。こう言うと敷居が高いように感じるかもしれないが、一般的な表計算ソフトのExcelでも簡単にできるんだ！ということを言いたくて、書くことにした。一度、Excelで手軽にルンゲクッタ法によって数式が解ける！ということがわければ、特に精度を求めない限り、自分で作った方程式を記述して、解くことができる。是非、自由に作って、どんどん色んな現象を予測してみてほしい！

そもそもルンゲクッタ法って何なの？何ができるの？

学者やエンジニアは、現象を解析し、予測するために、数式化を行う。この数式を、微分方程式という。微分方程式は、「時間tの変化に対する注目している量Xの変化量が、どういった要素に依存するか？」という視点で記述される。そして、解くというのは、「X＝〇t・・・」や「X＝近似値」で表すことをいう。後者を数値計算という。この数値計算の、精度がよく、一般的な手法が、ルンゲクッタ法である。アルゴリズムは下記である。

どうやって使うのか？

ルンゲクッタ法は、数式の近似解を求める手法である。関数式の近似というと、理系学生ならテーラー展開がピン！と来るであろう。それを利用した物である。詳細は、関係書籍やWikiなどを見て勉強してほしい。使い方は下記である。

まず、解析対象の現象を微分方程式の形で記述する。次に、一階方程式の形に変換する。微分方程式にはd^2X/dt^2 といった二階の形で記述される項が出てくることがある。このままだと計算できないので、それをdY/dtなどの形に変換しなおす。( 後に示す例題で理解を深めてください。)

ここまで来たら、初期値を設定します。開始時間、その時間の変数の値、時間刻みなどを決める。そして、ルンゲクッタ法をコンピュータに記述します。例えば、Excelに記載すると、下図のようになる。

最後に、上図の黒太線で囲った領域を一ブロックとしてコピーし、必要な精度が得られるまで、下のセルにコピーを繰り返す。

[参考書籍：林卓郎(2009), 振動系のダイナミクス, オーム社 ]

具体例

例えば、下記のような数式を上記の手法で解いてみる。

求めたいのは、ある時間でのXの値である。しかし、このままでは二階の微分方程式なので、一階化をする。

これで、一階の微分方程式になった。二階のものは、一階の項を別の変数でまとめ、その変数を使って二階を一階で示せばいいわけである。言葉で書くと混乱するが、上式を見てもらえれば容易に分かると思われる。

次に、初期値の設定をする。上式は高校や大学の物理でよく登場する振動系の式である。簡単のために、M=k=1, Xo=1, Yo=0, to=0, Δt=0.5 とする。

では、これをルンゲクッタ法でExcelに記述してみることにする。

※ 画像が小さい方は、画像上にマウスのカーソルをあわせ、右クリックし、「画像だけを表示」 をクリックすると大きく見られます。

分かりやすくするために、上図のように、公式を記述した。速度成分である、Y(=dX/dt)も横に書いてみた。更新項のｋは、Xに対する物。同ｌは、Yに対する物である。 では、実際に公式の下に記述することにする。

上図の黒網部は、初期値である。わざと記入した数式を文字列で示している。数式に戻すと…

となる。ここで、先ほどの順序に従って、2～1をコピーして、下のセルに貼り付けていく。

ここで、i=1の奴のみ表示させてグラフ化すると、Xの時間変化を見ることができる。i=1のみ表示させる方法だが、上図のi～liの部分をドラックして、「並べ替えとフィルター」を押し、ジョウロのようなマークをクリックすれば、表上のチェックボックスを表示させられる。そこのiの部分をクリックし、1を選択してみると、1のみの値だけに絞った表ができあがる。

項目をドラッグする。

赤丸箇所をクリック。

フィルターを押す。

グラフ上にチェックボックス( 小さな▼付きの吹き出し )ができる。

上図 i の部分をクリックし、1 だけにチェックを入れる。

試しに、0≦t≦5までのXをグラフ化してみる。

このように、ルンゲクッタ法により解くことができた。振動している様子がよくわかる。非線形方程式も基本的に同じやり方でやることができる。数式をセルに記述するのは面倒だが、是非、試してみてほしい。

(参考) Excel計算フォーマットを作る際の注意

Excelでの計算フォーマットを作る際のルールについて

(参考)連立微分方程式をRK法でExcelで解く方法

連立微分方程式をRK法でExcelで解く方法

活力がなかったり、つまずいたり、風にひきやすくなったり、何だかだるいかったりすることはないだろうか？サラリーマンの私は、よくあります。そこで、そんな自分を変えたくて、本屋さんで色々な本を読み漁って実践したところ、大分改善してきました。今日は、それを紹介します。

そもそも何でリズムが崩れるのか？

我々現代人は、日々色んなストレスを抱えて生きております。学業、仕事、対人関係、結婚、将来、お金、中毒etc。これらの出来事から、生活の時間が不規則になったり、心理的な不安定さにより肉体が堕落したりします。こうして、生物が本来備えている自然な体のリズムは狂ってしまい、さらなる不調を招くことになります。

どうすればリズムを正常にできるのか？

大事なことは、当たり前のことをするだけです。それは、日が昇ったら起き、一生懸命活動し、日が沈んだらゆっくりして眠ることです。

生物は、皆、自然のリズムの中で生まれ、成長し、活動し、死ぬわけです。ですから、この自然の流れにはんするようなことをすれば、リズムが崩れるのは明白です。

例えば、「夜型」、「24時間起きている」、「夜になっても活発に活動する」、「朝に寝ている」、「日が出ている時間帯に部屋の中にいてほとんど動かない」 等でしょう。

なぜこうしたことが起こるのか？

生物には、体内リズムを調整する機構が備わっています。要は、不規則な生活やストレスで、その機構や、機構を支える要素が壊れるからリズムが崩れるわけです。

ですから、不規則な生活やストレスから逃れられない多くの者たちは、この機構と要素を知り、それを調整する術を知れば良いわけです。では、その機構や要素はなんでしょうか？

とある書籍によると、下記の三つが重要であると言われていました。

・メラトニン

・睡眠物質

・体温

メラトニンは、人の一日のリズム( = 日が昇れば起きて活動し、日が沈めば休む)を自動で調整するのに必要な物質です。メラトニンは、暗い環境で脳内で生成され、光を浴びることで生成が停止されます。ですから、朝寝ていたり、日中に日の光を浴びない生活をしていたりすると、メラトニンが常に分泌状態になり、体が混乱し、不調に陥ります。暗い環境の基準は、500lx(≒ 通常のオフィスの照明)程度です。

朝起床したら、500lx以上の明かりをしっかり浴びましょう！

次に、睡眠物質です。人は、起きて活動すると体内の温度が高まり、色んな体内物質活発に動きだします。この活動状態も、自然状態を基準に考えれば異常なことで、生物をその活動を抑制するための物質をだします。それが睡眠物質です。プロスタグランディンD2などです。これが、GABAになり、神経伝達を鎮めるので、眠くなったりします。このとき、もし、コーヒーなどの興奮剤を飲んでしまったら、「体を休めるための物質をため込んだままで、体を無理やり活性化する」ことになるので、体への負荷が大きくなります。以上から、コーヒーなどのカフェイン入りの興奮剤を飲料するのをやめましょう。そして、昼寝などして適度に睡眠物質を消化させましょう！

最後に、体温です。体内リズムは、生物の活動の活性と抑制のバランスのことです。この体内の物質の活動は、体外の現象としては、一日の体温の変化として現れます。日中は、活動的なので体温は高く、夜は休む必要があるので低いのです。このバランスを乱すと、リズムが崩れます。よって、夜遅くまで仕事などしている人は、寝るべき時間に体温が高いので、寝付けず、リズムを崩してしまうのです。

遅くまで活動的で体温が高くて眠れない人は、暗くして目をつむりセロトニンを分泌しつつ、睡眠物質を解消し、眠るのもひたすら待つのもよいが、もう少し良い方法がある。それは、軽めの運動をすることである。こうすると、一時的に体温が上がり、その後急速に下がるので、そのまま眠りやすくなるのである。この理由だと、眠る前にお風呂に入って、少し湯冷まししてから寝るのも良いと思われます。

私は、寝る前に軽めどころか激しい運動をしているので、なかなか体温が下がらず眠れません。（笑）

以上が、生体リズムの崩れる要因である。ある本では、自然とともに起き、眠ることが難しい現代人のために、下記をすることを進めていました。

起床後4時間以内に5分間500lx以上の光を浴びてセロトニンを抑制し、6時間後に5分間目を閉じ睡眠物質を消化し、11時間後に軽めの運動をして体温を高めよ！[菅原洋平著 (2012)「あなたの人生を変える睡眠の法則」自由国民社」

良いことは、実践あるのみです。ぜひ、やってみたらどうでしょうか？

まとめ

・生体リズムを整えて、安定したパフォーマンスを出せるようにしよう。

・生体リズムは、「セロトニン」「睡眠物質」「体温」のコントロールで整えられる。

・生体リズムを整えるために、基本的には「日が昇ったら起き、日の光を浴びて活動し、日が沈んだらゆっくりして、休む」という規則正しい生活をしましょう。

・上記が難しい人は、「 起床後4時間以内に5分間500lx以上の光を浴びてセロトニンを抑制し、6時間後に5分間目を閉じ睡眠物質を消化し、11時間後に軽めの運動をして体温を高めよ！ 」を実践してみましょう。

ネジは、重要な機構部品である。部品間の締結に使う道具である。

今日は、その中でも混乱しにくいタッピンネジについて述べたいと思う。

タッピンネジとは？

通常、ネジは、ネジ自身と相手部品が、互いに凹凸の関係になり噛み合うように作られている。一方、タッピンネジとは、ネジ自身には弦巻があるが、相手はただの穴で、ネジの弦巻で相手部品の穴に溝をつけながら締結するネジのことを言う。

このように締結することを、「セルフタップ」という。自分でタップするということですね。

タッピンネジの欠点とは？

溝のない穴に溝を切りながら締結できるタッピンネジだが、ネジを無理やり切っていくので、強いトルクが必要となる。

ネジのサイズが大きくなると、締結のために大きなトルクが必要となるので、作業性が悪くなる。

作業性を改善するためには？

作業性を改善するには、「タップタイトネジ」を使うのが一般的である。

通常、ネジのネジ部(= 溝が彫ってある部分 )は、円柱形、または円錐形である。しかし、タップタイトは、断面が「円」ではなく、「角の丸い三角形」なのである。

このネジを使うと、穴に対するネジの接触領域が、丸みを帯びた角だけになるので、締結のために必要なトルクを下げられる。

また、穴の壁面と主に接触しているのは、三角形の角であり、それ以外の領域は隙間が空いていると思いきや、穴の壁面が収縮してくるためにあまり空いてはいない。よって、タップタイトは回り止めを抑制する効果が期待できるのである。ネジ緩み、空転対策に使ってみたらどうであろうか？

※　タップタイトは、相手部材の穴の設定値に厳格な規定があるので、使用の際は、設定値を調べて使用のこと。適当にやると、外れやすくなったり、下穴を破損させたりすることがあります。

Bタイト、Pタイト、Sタイトとは何か？

全てタップタイトネジの一種である。

構造的には、ネジのピッチで区分けされる。

・Bタイト ⇒ タッピン二種( 普通のタッピンネジ )と同じ

・Pタイト ⇒ タッピン二種より、ピッチが大きい。

・Sタイト ⇒ メートルネジと同じピッチなので、ピッチがかなり狭い。

通常のタッピンネジは、樹脂や鋼板に対しても使用できる。したがってBタイトは、通常のタッピンネジのように使える。

Pタイトは、ピッチが大きいので、樹脂に対して使用するべきである。ピッチが大きい分、早く締結できる。また、樹脂部材の白化や割れが起こりにくい。

Sタイトは、ピッチが小さいので、鋼板専用である。樹脂に使ってしまったら、じきに空転してしまいます。小ねじとピッチが同じなので、後で小ねじに切り替えることもできる。

とまあ、こんな感じでタッピンネジとタップタイトネジについて概要を描きました。

機構設計者として製品の筐体設計など担当したとき、ネジにどれを使うかいうのはいつもの議題になります。たいてい、樹脂を止めるときは、初めタッピンネジでやっていて、強度試験で緩んだらBタイト、それでもだめならPタイトという感じで変えていったりします。はじめからPにしとけばいいじゃねーかというご指摘もあるのですが、部品の共通利用の観点から、そう簡単にはできない事情もあるのです。

試作などの一点ものなら、緩みに不安があるなら、始めからPタイトにしておけばいいと思います。

最近、朝はパンスープを食べることが多い。

温かいスープを作っておき、朝起きて温める。

その間に、散歩をしたり、筋トレしたり、シャワーを浴びたりする。

すると、10分ほどでスープはできる。

ここで、食パンを小さく切り、スープに沈める。

これで出来上がりである。

朝は胃が起きておらず、ご飯が喉を通らないたちなのだが、このパンスープのおかげで、それなりに旨く、手っ取り早く栄養を取ることができていると思っている。

アツアツのスープでも、パンが入ることで急速に冷めるので、食べやすくなるのである。ただし、オリーブなどの油をスープに入れてしまうと、一気に冷めにくくなるので、注意である。やけどする。

また、パンを大きく切ってしまうと、大量のスープをパンが吸い込み、口に入れるまでに冷め切らず、やけどをしてしまう。注意である。

「スープ＋パン」という料理は、「スープの数」×「パンの数」だけのバリエーションがあるので、頭を使わずに楽に料理のバリエーションを増やせるな！と思うのあった。

だって、スープって色々あるよね？ コーン、野菜、カボチャ、ホウレン草、豆、トマト、卵、クラムチャウダー、、、これだけで一週間完了だろ。。。

ちなみに、「スープ＋米」は、、、スープ粥？雑炊？リゾット？よくわかないけど、これもおいしそうだね。（笑）

ではでは！

人類が古代から利用している道具に、滑車(pulley,block,tackle,sheave)という物がある。これは何であろうか？

滑車とは？

重い荷物をもち上げるのに使う道具である。 持ち上げようとする荷物を「少ない力で持ち上げたり」、 「加える力の方向を変えたり」 することができる。

先日、NHKの番組で、古代ローマのコロッセオの壮大な仕掛けについてのドキュメンタリーがやっていた。そこで、闘技場の地下に導いた猛獣(ライオン、象etc)をどうやって闘技場にあげたのか？という課題について再現実験がなされていた。

初めは、歯車とロープを使うモデルが提案されていた。男たちが力を合わせて歯車を回す。それによって檻の天面に結びつけられたロープが巻き上げられ、檻が上に上がるというものである。

しかし、檻の重さだけでも500kg程あり、とても上がらなかった。

そこで、現場担当のエンジニアが思いついたのは、滑車を使うということであった。

滑車の基本原理

滑車は、一般に、「定滑車」と「動滑車」がある。軸が天井などに固定されて動かないものを定滑車。軸に重りがぶら下がっており、滑車が動く物を動滑車という。

定滑車は、重りをもち上げるためには、重りと同じ力でロープを引っ張らなければならない。しかし、重りをもち上げるために、力を下に加えることでそれを実現できる。定滑車は、「重りと同じだけの力が必要だが、持ち上げるための力の向きを変換する効果」があるのである。

一方、動滑車は、重りに対して持ち上げる力の方向は同じだが、半分の力で持ち上げることができる。「持ち上げるための力の向きは同じだが、半分の力で持ち上げられる効果」がある。まとめると、下図のようになる。

これらの性質から定滑車と動滑車を組み合わせることで、重りの重さに対して加える力をどんどん小さくすることができるのである。

(余談ですが、中学受験の理科のテストで、定滑車と動滑車を組み合わせた複合滑車の問題がしばしばでます。しかし、上の「二つの性質」と「力のつり合い」を知っていれば、全部解けます。)

滑車で重い物を軽い力で持ち上げる例

例えば、下記のような複合滑車を考えてみる。

定滑車と動滑車が二つある。二つの動滑車は互いに軸で連結されており、連結部材の中央に、W[kg]の重りがぶら下がっている。滑車の重さは無視するとする。FとWの関係式を求めてみる。

まず、各滑車の出入口のロープにかかる力は、滑車に種類よらず同じなので、非膣をFの力で引けば、下図のように各ロープにFの力がかかっていると考えられる。

次に、滑車に働く力のつり合いを考える。今、二つの動滑車の軸には、力Wがかかっている。よって、各動滑車には、W/2の力がかかっている。向きは、向かって下側である。

ここで、先に示した動滑車のロープにかかる力と軸にかかる力の関係を思い出す。動滑車のロープにかかる力は、軸にかかる力の半分である。

よって、F = (W/2)/2 = W/4 とわかる。

例えば、重りW=20kg だったとする。このとき、上記のような機構を用意すれば、F=5kg で持ち上げらる。

話が長くなったが、滑車はこのように、持ち上げるという目的に対して、定滑車と動滑車を組み合わせることで、力を加える向きを変え、かつ、小さな力でそれを達成できるのである。

先のコロッセオの猛獣用檻のエレベーターは、上記のような仕組みを使って檻の重さに対して加える力を複合滑車機構で小さくして達成していた。

普段の生活では、滑車の威力を実感する人は少ないと思うが、現在のエレベーターも基本は古代と同じである。人類の素晴らしい発明の一つだと思います。

まとめ

• 滑車は、円盤の回転により、物を持ち上げる為の道具である。
• 定滑車と動滑車、およびそれらを組み合わせた複合滑車がある。
• 定滑車は、持ち上げるのに加える力の向きを変える効果がある。
• 動滑車は、加える力を半分にする効果がある。